Le plus simple est d'utiliser le spip_loader.
Se connecter sur l'administration du site (il faut le faire en tant qu'utilisateur principal, identifié en n°1 !).
Si ce n'est pas le cas, on peut éditer le script et rajouter d'autres utilisateur à la ligne:
define('_SPIP_LOADER_UPDATE_AUTEURS', '1');
Télécharger le script et le mettre à la racine du site.
wget http://www.spip.net/spip-dev/INSTALL/spip_loader.php
puis exécuter le script et voilà...
http://www.monsite.tld/spip_loader.php
Voir plus d'info ici:
http://spippourlesnuls.fr/?spip_loader,184
http://spippourlesnuls.fr/?mettre-spip-a-jour-comment,66
Dans le cas de la mutualisation:
voir http://plugins.spip.net/mutualisation.html
faire une mise à jour de la mutualisation.
Récupérer la dernière version (pour 3.0 et 3.1)
http://files.spip.org/spip-zone/mutualisation_v1.zip
et remplacer simplement le répertoire mutualisation en place.
puis faire la mise à jour avec spip_loader..